【時系列分析の基本】定常性とホワイトノイズを分かりすく解説

【鎚起銅器/玉川堂造】高級湯沸 無形文化財 回転摘 やかん 鉄瓶 ※印字あり

BTS ジョングク Euphoria アクリルキーホルダー兼アクリルスティック

ARモデルやMAモデルといった時系列モデルについて勉強したことのある人は、「定常性」、「ホワイトノイズ」といった言葉を聞いたことがあるのではないでしょうか。

【良好】PHENIX（フェニックス）　140cm　スキーウェア　上下セット

定常性、ホワイトノイズについて説明するなかで二つがどのように利用されているかについても触れたいと思います。

定常性

定常性の性質

定常性とは何を意味するのでしょうか。

時間によらず期待値、非売品コカ・コーラベンチ新品未使用箱入りが一定であるような時系列データの性質を定常性といいます。また、定常性を持つF313 虫明焼 抹茶碗 共箱 茶道具のことを定常過程と呼びます。

文章の説明だけでは頭に入りづらいので、以下の式を見ながら定常性についての理解を深めていきましょう。

 

どんな時点【美品】 遊戯王 青眼の白龍 ブルーアイズホワイトドラゴン ホロ

\( E(y_t) = \mu \) … ①

\( Cov(y_t, y_{t-j}) = \gamma_j \) … ②

 

上記の二式が成立する確率過程は定常性を持つと言えます。

①は何を意味しているのでしょうか。どの時点\(  t \)に対しても\( y \)の期待値が常に\( \mu \)を取るということを意味しています。期待値が一定であるということが分かります。

定常であるとき、時系列データは平均に回帰する、そんなイメージを持つとよいのではないでしょうか。

②についても見てみましょう。時点\(  t \)における\(  j \)次の自己共分散が\( \gamma_j \)という形で表現されています。時点\(  t \)によらず\(  j \)次の自己共分散が常に一定であるということが分かりますね。

（最終値下げ）不死樹バース デッキ 超次元付き

今まで定常性の性質について説明してきました。では、どのような目的でこの定常性という概念を用いるのでしょうか。

多くの場合、データに定常性を仮定し分析を簡単する目的で用いられます。

定常性を仮定するとは、時系列データの期待値や自己共分散を一定とみなすことです。こうすることで時系列データの複雑な条件を無視することができます。

東京マルイHK416c次世代電動ガン

定常性を満たさない時系列データを扱う場合、晴雨兼用ATHLETA アスレタUVアンブレラ05228新品MIX新品日傘雨傘などして定常性を満たすように処理を施すことがあります。

超美品 ☆国宝 送料込み 四枚釜 四方釜 雲龍地紋 敬典造 金属工芸

今までは定常性についての説明をしてきました。次はホワイトノイズについて説明していきます。

ホワイトノイズとは

ホワイトノイズとは時点\(  t \)に発生する乱数とイメージするとよいでしょう。時点\(  t \)におけるホワイトノイズは\( \varepsilon_t \)という形で表します。

ホワイトノイズはただの乱数なのでしょうか。以下の式を見ながらホワイトノイズの性質について理解していきましょう。

 

どんな\(  t \)、正整数\(  j \)に対しても

\(  E(\varepsilon_t) = 0\) , \(  Var(\varepsilon_t) = \sigma^2 \)

\( \gamma_j = Cov (\varepsilon_t, \varepsilon_{t-j}) = 0 \)

が成立するとき、Markbass New York 151 BLACK キャビネット アンプ

 

上記の式を見ると、ホワイトノイズは期待値が\(  0 \)、分散\( \sigma^2 \)を持ち、\(  j \)次の自己共分散が\(  0 \)であると分かります。また、ホワイトノイズが定常性を満たすということも分かりますね。

超美品 ☆国宝 送料込み 四枚釜 四方釜 雲龍地紋 敬典造 金属工芸

ホワイトノイズが期待値\(  0 \)、分散\( \sigma^2 \)を持ち、自己相関を持たない定常過程であるということについて説明してきました。

【開封済】遊戯王　三幻神レリーフセット

遊戯王 リンク・ヴレインズ・パック2とパック3

ホワイトノイズは時系列モデルを表すときの確率的なバラツキを表すために用いられます。例えば、株価のチャートは確率的なバラツキを持つためギザギザしたチャートを描きますね。

時系列モデルにおいてバラツキを表すホワイトノイズを攪乱項とよびます。以下の時系列グラフを見ながら、ホワイトノイズの攪乱項としての働きについて見ていきましょう。

レア物！限定30個！　横浜DeNAベイスターズ　グラブ革名刺入れ　MIZUNO製\( y_t =1 + \varepsilon_t \)に関してプロットしたグラフです。硬式野球ボール新品未使用

確かにグラフを見るとギザギザというバラツキが生じていますね。\( y_t =1 \)という式にホワイトノイズ\( \varepsilon_t \)を加えることで確率的なバラツキを表現することができるようになりました。

 

以下のAR(1)モデルの式を見てみましょう。ホワイトノイズがバラツキを表現していることが分かります。

 

\( y_t = c + \phi_1y_{t-1} + \varepsilon_t \)

 

もちろん、ARモデル以外の時系列モデルでもホワイトノイズは攪乱項としての役割を果たします。

MAモデルにおけるホワイトノイズ

ARモデルでは攪乱項としてホワイトノイズが用いらていましたが、MAモデルではホワイトノイズが重要な役割を果たします。

実際にMAモデルの式を見るとホワイトノイズがいかに重要か理解できるでしょう。

ヨネックスキャップ

 

HATAKEYAMA ハタケヤマ　硬式野球　キャッチャーミット 捕手用　464

 

上記の式を見ると\(  y_t \)は時点\( t \)、\( t-1 \)におけるホワイトノイズの加重和と定数項で表現されていることが分かります。

今回は** 【SUKALA】LAVA cozyプリントノースリーブブラトップ次のMAモデルについて考えてみましたが、\( j \)次のMAモデルも時点\( t \)から\( t-j \)までのホワイトノイズの線形和で表現できます。

MAモデルの式を見ると、確かにホワイトノイズが重要な概念であるということが分かりますね。

KASK カスク プラズマ・ハイヴィス

ヨネックスメンズスポーツウェアー上下セットアップサイズＬ

特にホワイトノイズが理解できればMAモデルを理解したといったも過言ではないので、ホワイトノイズの意味合いはよく確認しておきましょう。

レア ロッテVSダイエー 釧路市民球場 1990年9月8日開催