【時系列分析の基本】定常性とホワイトノイズを分かりすく解説

ビックリマン　スペシャルセレクション　BMFOREVER 88枚セット

キルギスタン、美術シート、メキシコ人俳優と女優 cbj_s84

ARモデルやMAモデルといった時系列モデルについて勉強したことのある人は、「定常性」、「ホワイトノイズ」といった言葉を聞いたことがあるのではないでしょうか。

ツキウタ。弥生春モデル　リュック　新品未使用

定常性、ホワイトノイズについて説明するなかで二つがどのように利用されているかについても触れたいと思います。

定常性

定常性の性質

定常性とは何を意味するのでしょうか。

時間によらず期待値、獅子が一定であるような時系列データの性質を定常性といいます。また、定常性を持つフリーホイーラーズトラッカーキャップ　ブラックのことを定常過程と呼びます。

文章の説明だけでは頭に入りづらいので、以下の式を見ながら定常性についての理解を深めていきましょう。

 

どんな時点最終値下げ！リビングデッドドールズ カドルス

\( E(y_t) = \mu \) … ①

\( Cov(y_t, y_{t-j}) = \gamma_j \) … ②

 

上記の二式が成立する確率過程は定常性を持つと言えます。

①は何を意味しているのでしょうか。どの時点\(  t \)に対しても\( y \)の期待値が常に\( \mu \)を取るということを意味しています。期待値が一定であるということが分かります。

定常であるとき、時系列データは平均に回帰する、そんなイメージを持つとよいのではないでしょうか。

②についても見てみましょう。時点\(  t \)における\(  j \)次の自己共分散が\( \gamma_j \)という形で表現されています。時点\(  t \)によらず\(  j \)次の自己共分散が常に一定であるということが分かりますね。

ジョジョ展 ポスター 5部

今まで定常性の性質について説明してきました。では、どのような目的でこの定常性という概念を用いるのでしょうか。

多くの場合、データに定常性を仮定し分析を簡単する目的で用いられます。

定常性を仮定するとは、時系列データの期待値や自己共分散を一定とみなすことです。こうすることで時系列データの複雑な条件を無視することができます。

ワンピース 赤単ゾロ デッキ 最安値 チャンピオンシップ

定常性を満たさない時系列データを扱う場合、遊戯王ラッシュデュエルなどして定常性を満たすように処理を施すことがあります。

【超特価sale開催】 値下げキングダム [レンタル落ち] 全19巻セット DVD カード

今までは定常性についての説明をしてきました。次はホワイトノイズについて説明していきます。

ホワイトノイズとは

ホワイトノイズとは時点\(  t \)に発生する乱数とイメージするとよいでしょう。時点\(  t \)におけるホワイトノイズは\( \varepsilon_t \)という形で表します。

ホワイトノイズはただの乱数なのでしょうか。以下の式を見ながらホワイトノイズの性質について理解していきましょう。

 

どんな\(  t \)、正整数\(  j \)に対しても

\(  E(\varepsilon_t) = 0\) , \(  Var(\varepsilon_t) = \sigma^2 \)

\( \gamma_j = Cov (\varepsilon_t, \varepsilon_{t-j}) = 0 \)

が成立するとき、オードリーヘップバーン　オートグラフ 直筆サイン 証明書付き

 

上記の式を見ると、ホワイトノイズは期待値が\(  0 \)、分散\( \sigma^2 \)を持ち、\(  j \)次の自己共分散が\(  0 \)であると分かります。また、ホワイトノイズが定常性を満たすということも分かりますね。

【超特価sale開催】 値下げキングダム [レンタル落ち] 全19巻セット DVD カード

ホワイトノイズが期待値\(  0 \)、分散\( \sigma^2 \)を持ち、自己相関を持たない定常過程であるということについて説明してきました。

五等分の花嫁グッズセット

パウパトロール　パウステーション　タワー

ホワイトノイズは時系列モデルを表すときの確率的なバラツキを表すために用いられます。例えば、株価のチャートは確率的なバラツキを持つためギザギザしたチャートを描きますね。

時系列モデルにおいてバラツキを表すホワイトノイズを攪乱項とよびます。以下の時系列グラフを見ながら、ホワイトノイズの攪乱項としての働きについて見ていきましょう。

ACSSプロ　シャフト　ラジアル\( y_t =1 + \varepsilon_t \)に関してプロットしたグラフです。electro-harmonic NANO METAL MUFF

確かにグラフを見るとギザギザというバラツキが生じていますね。\( y_t =1 \)という式にホワイトノイズ\( \varepsilon_t \)を加えることで確率的なバラツキを表現することができるようになりました。

 

以下のAR(1)モデルの式を見てみましょう。ホワイトノイズがバラツキを表現していることが分かります。

 

\( y_t = c + \phi_1y_{t-1} + \varepsilon_t \)

 

もちろん、ARモデル以外の時系列モデルでもホワイトノイズは攪乱項としての役割を果たします。

MAモデルにおけるホワイトノイズ

ARモデルでは攪乱項としてホワイトノイズが用いらていましたが、MAモデルではホワイトノイズが重要な役割を果たします。

実際にMAモデルの式を見るとホワイトノイズがいかに重要か理解できるでしょう。

ホロライブプレミアムブースターボックス

 

ランボルギーニ レヴェントン ブラック AUTOart 1/18 オートアート

 

上記の式を見ると\(  y_t \)は時点\( t \)、\( t-1 \)におけるホワイトノイズの加重和と定数項で表現されていることが分かります。

今回はイグニッションモデル 1/43 MAZDA RX-7 FC3S次のMAモデルについて考えてみましたが、\( j \)次のMAモデルも時点\( t \)から\( t-j \)までのホワイトノイズの線形和で表現できます。

MAモデルの式を見ると、確かにホワイトノイズが重要な概念であるということが分かりますね。

未開封品 1/43 スパーク レイトンハウス ポルシェ 962C ルマン24時間

オートアート R32GT-R V-SPECⅡ TUNED VERSION

特にホワイトノイズが理解できればMAモデルを理解したといったも過言ではないので、ホワイトノイズの意味合いはよく確認しておきましょう。

暗黒の騎士 オブスクデイト　SP