【時系列分析の基本】定常性とホワイトノイズを分かりすく解説

【ホロライブ】 雪花ラミィ 活動1周年記念フルセット 数量限定ver.

宮世琉弥　成瀬大二郎　フォトクッション

ARモデルやMAモデルといった時系列モデルについて勉強したことのある人は、「定常性」、「ホワイトノイズ」といった言葉を聞いたことがあるのではないでしょうか。

SON OF THE CHEESE / Cordy MJK Pants

定常性、ホワイトノイズについて説明するなかで二つがどのように利用されているかについても触れたいと思います。

定常性

定常性の性質

定常性とは何を意味するのでしょうか。

時間によらず期待値、ガンバライジング　LR 仮面ライダーゲイツリバイブ疾風　RM4弾が一定であるような時系列データの性質を定常性といいます。また、定常性を持つ高麗青磁　浮文皿のことを定常過程と呼びます。

文章の説明だけでは頭に入りづらいので、以下の式を見ながら定常性についての理解を深めていきましょう。

 

どんな時点一番くじ 機動戦士ガンダム ガンプラ ラストワン ガンダムエクシア

\( E(y_t) = \mu \) … ①

\( Cov(y_t, y_{t-j}) = \gamma_j \) … ②

 

上記の二式が成立する確率過程は定常性を持つと言えます。

①は何を意味しているのでしょうか。どの時点\(  t \)に対しても\( y \)の期待値が常に\( \mu \)を取るということを意味しています。期待値が一定であるということが分かります。

定常であるとき、時系列データは平均に回帰する、そんなイメージを持つとよいのではないでしょうか。

②についても見てみましょう。時点\(  t \)における\(  j \)次の自己共分散が\( \gamma_j \)という形で表現されています。時点\(  t \)によらず\(  j \)次の自己共分散が常に一定であるということが分かりますね。

popmart ぬいぐるみ kouya 限定品　大きい

今まで定常性の性質について説明してきました。では、どのような目的でこの定常性という概念を用いるのでしょうか。

多くの場合、データに定常性を仮定し分析を簡単する目的で用いられます。

定常性を仮定するとは、時系列データの期待値や自己共分散を一定とみなすことです。こうすることで時系列データの複雑な条件を無視することができます。

mofsand サメにゃん ぬいぐるみ 8匹セット もちもちクッション ＋おまけ

定常性を満たさない時系列データを扱う場合、マルタ様　専用などして定常性を満たすように処理を施すことがあります。

【SALE／55%OFF】 ＪＲ　◆日本新！幹線　３・１６東北新幹線はやぶさ国内最速320ｋｍ/h運転開始。 ノベルティグッズ

今までは定常性についての説明をしてきました。次はホワイトノイズについて説明していきます。

ホワイトノイズとは

ホワイトノイズとは時点\(  t \)に発生する乱数とイメージするとよいでしょう。時点\(  t \)におけるホワイトノイズは\( \varepsilon_t \)という形で表します。

ホワイトノイズはただの乱数なのでしょうか。以下の式を見ながらホワイトノイズの性質について理解していきましょう。

 

どんな\(  t \)、正整数\(  j \)に対しても

\(  E(\varepsilon_t) = 0\) , \(  Var(\varepsilon_t) = \sigma^2 \)

\( \gamma_j = Cov (\varepsilon_t, \varepsilon_{t-j}) = 0 \)

が成立するとき、【クロス様専用】ビックリマンシール　クリスマスブーツ　アンドロココ⑧

 

上記の式を見ると、ホワイトノイズは期待値が\(  0 \)、分散\( \sigma^2 \)を持ち、\(  j \)次の自己共分散が\(  0 \)であると分かります。また、ホワイトノイズが定常性を満たすということも分かりますね。

【SALE／55%OFF】 ＪＲ　◆日本新！幹線　３・１６東北新幹線はやぶさ国内最速320ｋｍ/h運転開始。 ノベルティグッズ

ホワイトノイズが期待値\(  0 \)、分散\( \sigma^2 \)を持ち、自己相関を持たない定常過程であるということについて説明してきました。

雪だるま　ビッグぬいぐるみ

ガンプラ MG 1/100 リックドム

ホワイトノイズは時系列モデルを表すときの確率的なバラツキを表すために用いられます。例えば、株価のチャートは確率的なバラツキを持つためギザギザしたチャートを描きますね。

時系列モデルにおいてバラツキを表すホワイトノイズを攪乱項とよびます。以下の時系列グラフを見ながら、ホワイトノイズの攪乱項としての働きについて見ていきましょう。

【陶芸道具】まとめて　手ろくろ　かめ板　ヘラ他\( y_t =1 + \varepsilon_t \)に関してプロットしたグラフです。ザリガニ

確かにグラフを見るとギザギザというバラツキが生じていますね。\( y_t =1 \)という式にホワイトノイズ\( \varepsilon_t \)を加えることで確率的なバラツキを表現することができるようになりました。

 

以下のAR(1)モデルの式を見てみましょう。ホワイトノイズがバラツキを表現していることが分かります。

 

\( y_t = c + \phi_1y_{t-1} + \varepsilon_t \)

 

もちろん、ARモデル以外の時系列モデルでもホワイトノイズは攪乱項としての役割を果たします。

MAモデルにおけるホワイトノイズ

ARモデルでは攪乱項としてホワイトノイズが用いらていましたが、MAモデルではホワイトノイズが重要な役割を果たします。

実際にMAモデルの式を見るとホワイトノイズがいかに重要か理解できるでしょう。

【送料込み】 ディズニー　ウッディー　ジェシー　帽子

 

未組立 RG 1/144 ジオング プラモデル 機動戦士ガンダム

 

上記の式を見ると\(  y_t \)は時点\( t \)、\( t-1 \)におけるホワイトノイズの加重和と定数項で表現されていることが分かります。

今回は【おまけ付】本榧将棋盤+菱湖書特上彫駒次のMAモデルについて考えてみましたが、\( j \)次のMAモデルも時点\( t \)から\( t-j \)までのホワイトノイズの線形和で表現できます。

MAモデルの式を見ると、確かにホワイトノイズが重要な概念であるということが分かりますね。

ION AUDIO レコードプレーヤー&ジブリレコード　スタジオジブリ限定品

ドローン　　空中撮影

特にホワイトノイズが理解できればMAモデルを理解したといったも過言ではないので、ホワイトノイズの意味合いはよく確認しておきましょう。

天然木 囲碁盤 厚み17.0cm 足付き へそあり 那智黒 蛤 碁石34号